Logika#
Ringkasan ini dibuat sebagian sebagian dari Kuliah IF1220 Matematika Diskrit ITB oleh bapak Rinaldi Munir. dan berbagai sumber seperti Wikipedia, ChatGPT dsb
Proposisi#
adalah pernyataan bahwa suatu dua perbandingan adalah sama besar, contoh
\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \)
\( 4 = 2 * 2 \)
13 adalah bilangan ganjil
Untuk sembarang bilangan bulat \( n >= 0 \), maka \( 2n \) adalah genap
contoh yang bukan
Isilah gelas tersebut dengan air
\( x + 3 = 8 \)
\( x > 3 \)
dan, Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil seperti \( p, q, r, … \)
Bentuk bentuk nya#
Proposisi atomik bentuk proposisi tunggal, contoh
2n selalu genap untuk n=0, 1, 2, …
Ibukota Maluku Utara adalah Ternate
proposisi majemuk diantaranya:
conjunction (and): \( \wedge \)
disjunction (or): \( \vee \)
negation (!n): \( ~ \)
exclusive disjunction (xor): \( \oplus \)
Table#
| p | q | r | p ∧ q | ¬q | ¬q ∧ r | (p ∧ q) ∨ (¬q ∧ r) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | F | F | T |
| T | T | F | T | F | F | T |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | F | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F | F |
| F | T | F | F | F | F | F |
| F | F | T | F | T | T | T |
| F | F | F | F | T | F | F |
nb:
Tautologi adalah pernyataan logika yang selalu benar, tidak peduli nilai kebenaran dari komponen-komponennya. contoh
| p | q | p ∧ q | ¬(p ∧ q) | p ∨ ¬(p ∧ q) |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | T |
| T | F | F | T | T |
| F | T | F | T | T |
| F | F | F | T | T |
Kontradiksi adalah pernyataan logika yang selalu salah, tidak peduli nilai kebenaran dari komponen-komponennya. contoh
| p | q | p ∧ q | p ∨ q | ¬(p ∨ q) | (p ∧ q) ∧ ¬(p ∨ q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | F | F |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | F | F | T | F |
| p | q | p ∧ q | ¬(p ∧ q) | ¬p | ¬q | ¬p ∨ ¬q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | F | T | T | F | T |
| F | F | F | T | T | T | T |
Hukum hukum nya#
Bahasa Indonesia |
Bahasa Inggris |
Contoh |
|---|---|---|
Hukum Identitas |
Identity Law |
|
Hukum Dominasi |
Domination Law |
|
Hukum Idempotensi |
Idempotent Law |
|
Hukum Negasi |
Negation Law |
|
Hukum Komutatif |
Commutative Law |
|
Hukum Asosiatif |
Associative Law |
|
Hukum Distributif |
Distributive Law |
|
Hukum De Morgan |
De Morgan’s Laws |
|
Hukum Involusi |
Double Negation / Involution |
|
Hukum Implikasi |
Implication Law |
|
Hukum Biimplikasi |
Biconditional Law |
|
Implikasi#
Disebut juga proposisi bersyarat, seperti jika x maka y, notasinya \( p \rightarrow q\). \( p \) nya adalah condition, \( q \) nya adalah conlusion
p |
q |
p → q |
|---|---|---|
T |
T |
T |
T |
F |
F |
F |
T |
T |
F |
F |
T |
versi versinya jika dijadikan teks
Jika p, maka q (if p, then q)
Jika p, q (if p, q)
p mengakibatkan q (p implies q)
q jika p (q if p)
p hanya jika q (p only if q)
p syarat cukup untuk q (p is sufficient condition for q)
q syarat perlu bagi p (q is necessary condition for q)
q bilamana p (q whenever p)
q mengikuti dari p (q follows from p)
penjelasan kenapa \( F \rightarrow F = T \)#
“If I win the lottery, I’ll buy you a car.”
I didn't win the lottery → (False)
I didn't buy a car → (False)
dan juga \( P \rightarrow Q \) sebenarnya sama dengan \( \sim{P} \vee Q \)
Penjelasan kenapa \( \sim (p \rightarrow q )\) itu sama dengan \( p \space \wedge \sim{q} \)#
Kita tahu bahwa \( p \rightarrow q \) itu sebenarnya sama dengan \( \sim{p} \vee p \) , maka steps yang dibutuhkan hanya
\( \sim(p \rightarrow q) \)
\( \sim(\sim{p} \vee q) \)
\( p \space \wedge \sim{q} \)
tabel varian implikasi (Proporsi bersyarat)#
Konvers (kebalikan): \( q \rightarrow p \)
Invers : \( \sim p \rightarrow \sim q \)
Kontraposisi : \( \sim q \rightarrow \sim p \)
p |
q |
¬p |
¬q |
p → q |
q → p |
¬p → ¬q |
¬q → ¬p |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
T |
T |
F |
F |
T |
T |
T |
T |
T |
F |
F |
T |
F |
T |
T |
F |
F |
T |
T |
F |
T |
F |
F |
T |
F |
F |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
Bi-impication#
Intinya, operand kanan kiri harus sama, entah sama sama true, atau sama sama false. notasinya: \( p \leftrightarrow q \)
tabel kebenaran
p |
q |
p ↔ q |
|---|---|---|
T |
T |
T |
T |
F |
F |
F |
T |
F |
F |
F |
T |
contoh
p |
q |
p ↔ q |
p → q |
q → p |
(p → q) ∧ (q → p) |
|---|---|---|---|---|---|
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
F |
F |
F |
T |
F |
F |
T |
F |
T |
F |
F |
F |
F |
T |
T |
T |
T |
analogi simple:
Jika suatu bilangan genap, maka habis dibagi 2: \( \text{true} \leftrightarrow \text{true} = \text{true} \)Jika suatu bilangan bukan genap, maka tidak akan habis dibagi 2: \( \text{false} \leftrightarrow \text{false} = \text{true} \)